正确答案 ：B

解析

【金标尺解析】本题考查《中华人民共和国义务教育法》。
《中华人民共和国义务教育法》十一条第二款规定，适龄儿童、少年因身体状况需要延缓入学或者休学的，其父母或者其他法定监护人应当提出申请，由当地乡镇人民政府或者县级人民政府教育行政部门批准。题干中，林杨是 XX 县 XX 镇人，因此对于林杨父母提出延缓一年入学的申请，有权批准该申请的机构是镇人民政府。故 B 项符合题意。
A、C、D 项为干扰选项，故排除。
故本题答案为 B。